Kunci Jawaban Matematika Kelas 11 Tingkat Lanjut Halaman 175, Buktikan Rumus Vektor Satuan

Pembelajaran Matematika bagi siswa sekolah menengah atas kini semakin menuntut pemahaman konsep yang mendalam, bukan sekadar menghafal rumus. Pada buku paket Matematika Kelas 11 SMA Semester 2 Tingkat Lanjut Kurikulum Merdeka terbitan terbaru, siswa diajak mengeksplorasi konsep analisis vektor pada dimensi dua. Salah satu materi penting yang dibahas terdapat pada halaman 175 dalam kegiatan siswa bertajuk Mari Mencoba 4.6.

Dalam latihan Mari Mencoba 4.6 ini, para siswa diminta untuk membuktikan kebenaran matematis dari perumusan vektor satuan. Persoalan yang diajukan adalah membuktikan bahwa jika v adalah vektor bukan nol pada bidang, maka rumus $u = \frac{v}{\|v\|} = \frac{1}{\|v\|} v$ akan selalu menghasilkan vektor satuan u yang memiliki panjang tepat bernilai 1 dan memiliki arah yang sama dengan vektor v. Melalui latihan pembuktian ini, nalar kritis siswa dalam mengoperasikan matriks dan variabel aljabar vektor akan semakin teruji.

Untuk menyelesaikan pembuktian tersebut, langkah pertama yang dapat dilakukan siswa adalah mendefinisikan komponen-komponen penyusun vektor. Misalkan vektor v dinyatakan dalam koordinat kartesius dimensi dua sebagai $v = (v_1, v_2)$, dengan syarat v bukan merupakan vektor nol. Berdasarkan definisi operasional matematika, panjang dari vektor v atau yang disimbolkan dengan $\|v\| $ dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras, yaitu $\|v\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

Langkah berikutnya adalah mensubstitusikan nilai komponen tersebut ke dalam definisi vektor u, sehingga diperoleh komponen baru yaitu $u = \left(\frac{v_1}{\|v\|}, \frac{v_2}{\|v\|} ight)$. Ketika kita menghitung panjang dari vektor u menggunakan rumus panjang vektor standar, maka diperoleh hasil $\|u\| = \sqrt{\left(\frac{v_1}{\|v\|} ight)^2 + \left(\frac{v_2}{\|v\|} ight)^2}$. Melalui penyederhanaan aljabar, persamaan ini akan menghasilkan $\|u\| = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2}{\|v\|^2}}$, yang mana pembilang di dalam akar setara dengan $\|v\|^2$, sehingga terbukti bahwa panjang vektor u senilai dengan 1.

Keberadaan kunci jawaban dan pembahasan rinci ini diharapkan dapat menjadi alternatif solusi pembelajaran mandiri bagi siswa di rumah. Guru maupun orang tua juga dapat memanfaatkan pembahasan ini sebagai panduan atau pembanding untuk mengevaluasi hasil pengerjaan latihan anak. Dengan memahami pembuktian rumus dasar, siswa diharapkan tidak hanya mampu menjawab soal ujian, melainkan juga menguasai konsep penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari.